Come fa un GPS a essere preciso nelle misurazioni

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Nell’articolo di oggi capiremo come fanno i GPS a essere precisi nelle loro misurazioni e vedremo qual è il nesso con la relatività.

Cosa dobbiamo sapere assolutamente per cercare quanto meno di capire come funziona tutto ciò?

Il principio di funzionamento dei sistemi GPS si basa sulla misura del tempo impiegato da un segnale radio a percorrere la distanza satellite-ricevitore: siccome questi segnali viaggiano alla velocità della luce il tempo da misurare è di 67 ms (millesimi di secondo) e siccome si cerca una precisione del metro, l’errore di misura del tempo di volo deve essere dell’ordine di qualche miliardesimo di secondo (ns). Inoltre per questioni di triangolazione sulla superficie terrestre, occorre conoscere le distanze dal ricevitore da tre satelliti, i cui segnali radio devono essere accuratamente sincronizzati con orologi atomici al Cesio (che hanno una precisione di 10^-14, cioè 0.86 ns al giorno in grado di garantire un’approssimazione teorica di 26 cm).

I ricevitori tradizionali (presenti nei nostri dispositivi di uso quotidiano) non dispongono di costosissimi orologi atomici al Cesio (ovviamente si tratta dell’isotopo 133 che è stabile, non radioattivo), bensi dei normali orologi al quarzo che hanno precisioni 10’000 volte peggiori ma costi molto più accessibili, che possono comportare un errore di circa 3 km! Per questo motivo la “triangolazione” finale è effettuata utilizzando il segnale anche di un 4° satellite.

ok arriviamo subito al sodo e allora dobbiamo sapere che:

ci sono 24 satelliti in orbita a circa 20000 km d’altezza
ci sono 6 orbite inclinate di 55° sull’equatore
- almeno 4 satelliti sempre visibili ovunque. Il principio di funzionamento dei sistemi GPS si basa sulla misura del tempo impiegato da un segnale radio a percorrere la distanza satellite-ricevitore
  - Il dispositivo risolve il sistema di equazioni e trova il tempo e la posizione
Ogni satellite dal peso di 1 ton, ha una dimensione fino a 7 m con i pannelli solari aperti ed utilizza dei clocks a 12.23 MHz.
ogni satellite ha un orologio atomico al cesio con precisione di 1 su 10^14
- 1 giorno è formato da 86400s
- errore in 1 giorno 86400 s/10^14 = 8.610^−10 s = 0.86 ns
  - Con 0.86 ns di errore, la precisione può essere di circa 30 cm (in teoria)

Ti consiglio di vedere questo video della Zanichelli per crearti una idea generale sull’argomento.

Cosa c’entra la Relatività?

Dobbiamo sapere diverse cose. Cercherò di fornivi delle definizioni nel modo più breve possibile.

Relatività ristretta: i satelliti si muovono rispetto al ricevitore, e il loro orologio va “più piano”
Relatività Generale: i campi gravitazionali cambiano sia la velocità degli orologi, sia la propagazione dei segnali radio
La Terra ruota su se stessa, inducendo ulteriori effetti più raffinati

Alla base del sistema GPS, c’è il postulato fondamentale della teoria della relatività, ovvero il fatto che la velocità della luce (e quindi la velocità di tutti i segnali radio) è costante, e indipendente dal moto della sorgente e del ricevitore.

Il GPS determina la posizione mediante triangolazione ricavata confrontando i segnali ricevuti da 3 o più satelliti geostazionari. Dato che uno dei fattori in gioco è la sincronizzazione dei tempi dei satelliti fra loro e rispetto a terra, sono necessari due tipi di correzione relativistiche.

1) relatività ristretta in 2 righe

Osservatori in moto relativo uno rispetto all’altro misurano intervalli di tempo e lunghezze diverse.

Se il tempo si dilata, quindi un orologio appare andare più piano allora lo spazio si contrae. In altre parole, per tener conto della velocità relativa del satellite rispetto a terra, operativamente c’è un rallentamento nella misura del tempo a bordo del satellite.

2. dilatazione dei tempi

Poiché un osservatore a terra vede i satelliti in movimento rispetto a lui, la Relatività Ristretta prevede che dovremmo vedere i loro orologi ticchettare più lentamente. La Relatività Ristretta prevede che gli orologi atomici di bordo sui satelliti dovrebbero rimanere indietro rispetto agli orologi a terra di circa 7 microsecondi al giorno a causa del ticchettio più lento dovuto all’effetto di dilatazione del tempo del loro movimento relativo.

Per la relatività poiché il satellite è in moto ad una velocità di 3,8 km/s l’orologio sul satellite viene visto essere rallentato con γ= 7,1 µs/g e questo, tenendo presente che la distanza si calcola con L=Δt c causa un errore sulla posizione dell’oggetto a terra pari a circa 2,2 km.

Un orologio in movimento va più piano di un orologio in quiete. Velocità del satellite: 3.8 km/s. Dalla seguente relazione:

Questo è l’errore indotto dal moto del satellite a causa della relatività
7.1*µs · c = 2.2 km

3) Relatività generale

Il potenziale gravitazionale avvertito a bordo del satellite interviene, accelerando la misura del tempo a bordo di più di quanto l’altro effetto non la rallenti.

Il GPS è un’applicazione pratica della deformazione spaziotemporale prevista dalla relatività generale di Einstein, dove spazio e tempo risultano modificati rispetto a uno spazio piatto per la presenza di un corpo di una certa massa, nel caso in questione della Terra.

Il nesso esiste all’interno del fatto che la prossimità di un oggetto ad una massa rilevante, lo pone all’interno del suo pozzo gravitazionale, dove lo scorrere del tempo è rallentato rispetto allo spazio circostante.

Questa dilatazione modifica (seppur di poco) sia lo spazio che il tempo (rallentandolo). Più precisamente a teoria ci dice che all’aumentare dell’altezza il tempo rallenta rispetto ad un orologio a terra

Di conseguenza, se i satelliti del GPS non conteggiassero questo ritardo, il loro orologi interni conterebbero il tempo più rapidamente rispetto allo scorrere del tempo sulla superficie terrestre.

Se quindi il satellite contasse il tempo più rapidamente che sulla Terra, in un momento in cui si dovrebbe riconoscere su di una determinata verticale del globo terrestre, si riconoscerebbe invece su di un altra posizione, sfalsando le sue letture, ed effettuando delle misure errate portando ad errori di posizionamento anche molto rilevanti.

Per la relatività generale il campo gravitazionale curva lo spazio-tempo e gli intervalli temporali sono deformati dalla presenza del campo gravitazionale.

A causa della relatività speciale, gli orologi di un oggetto in movimento scorrono più lentamente rispetto ad un osservatore fermo secondo la formula Dt= (1-(v/c)^2)^.5 dove c rappresenta la velocità della luce nel vuoto (299’792 km/s); pertanto gli orologi satellitari rallentano di circa 6 microsec (milionesimi di secondo) al giorno.

Avremo un Δ τ = Δ t (1+gh/c²) (questa formula approssimata è valida nel caso di campi gravitazionali deboli) Questa dilatazione temporale causa un errore 45,7 µs al giorno. Senza correzione causerebbe un errore sulla determinazione della distanza oggetto-satellite (L=Δ τ c) di 15 km.

Una previsione della Relatività Generale è che gli orologi più vicini a un oggetto massiccio sembreranno ticchettare più lentamente di quelli situati più lontano. Pertanto, se visti dalla superficie della Terra, gli orologi sui satelliti sembrano ticchettare più velocemente degli orologi identici a terra. Un calcolo che utilizza la Relatività Generale prevede che gli orologi in ciascun satellite GPS dovrebbero anticipare gli orologi terrestri di 45 microsecondi al giorno.

La combinazione di questi due effetti relativistici comporta che gli orologi a bordo di ciascun satellite dovrebbero ticchettare più velocemente degli orologi identici a terra di circa 38 microsecondi al giorno (45-7=38)! Introducendo un errore nella determinazione della distanza oggetto-satellite di circa 11,4 km!

Sembra poco, ma l’elevata precisione richiesta dal sistema GPS richiede una precisione di nanosecondi e 38 microsecondi sono 38.000 nanosecondi. Se questi effetti non fossero presi adeguatamente in considerazione, una correzione di navigazione basata sulla costellazione GPS sarebbe falsa dopo soli 2 minuti e gli errori nelle posizioni globali continuerebbero ad accumularsi ad una velocità di circa 10 chilometri ogni giorno! L’intero sistema sarebbe completamente inutile per la navigazione in un tempo molto breve.

Il GPS sfrutta lo stesso principio ottenendo in tal modo una precisione altrimenti irraggiungibile)

Come si risolve questo problema?

Il campo gravitazionale terrestre lungo l’orbita del satellite è inferiore in quanto il raggio medio dell’orbita è il doppio del diametro della Terra: la relatività generale prevede una deformazione degli intervalli temporali in funzione dell’intensità del campo gravitazionale. Nel caso dei satelliti, essendo la gravità inferiore, si osserva un’accelerazione di circa 41 microsec al giorno. I due effetti si sommano causando una differenza giornaliera di 36 microsec al giorno: gli orologi al Cesio installati nei satelliti, mostrano in effetti un’anticipo di questa entità che viene compensato per via elettronica.

In pratica la frequenza di oscillazione viene rallentata di circa 4 mHz per compensare gli effetti relativistici (si trucca l’orologio di bordo facendolo scorrere più velocemente!): infatti senza queste correzioni il sistema genera errori di posizione di diversi chilometri su un giorno di utilizzo (in 36 microsecondi la luce percorre circa 11 km, inaccettabile per le precisioni richieste).

Si fanno andare gli orologi dei satelliti volutamente più veloci (tradotto=non sono uguali a quelli della Terra).
- Lo spostamento nel tempo osservato sulla Terra è di circa 38 millisecondi al giorno il che porterebbe a 10 km di errore giornaliero. Gli orologi dei satelliti sono stati impostati a 10.229999995453 Mhz invece di 10.23 Mhz. Osservati dalla terra funzionano come se fossero impostati a 10.23 MHz.
Ci sono ancora effetti periodici legati all’orbita non circolare dei satelliti
Ci sono ancora effetti periodici legati all’effetto Sagnac (legato alla rotazione della Terra)
- questi effetti sono corretti sul ricevitore
- questi effetti dipendono dalla posizione relativa fra ricevitore e satelliti nonché dalla latitudine

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Simone Candido

Simone Candido è un ragazzo appassionato del mondo tech nella sua totalità. Simone ama immedesimarsi in nuove esperienze, la sua filosofia si basa sulla irrefrenabile voglia di ampliare a 360° le sue conoscenze abbracciando tutti i campi del sapere, in quanto ritiene che il sapere umano sia il connubio perfetto tra cultura umanistica e scientifica.